《史记·周本纪》：“楚有养由基者，善射者也。去柳叶百步而射之，百发而百中之。左右观者数千人，皆曰善射。”后因以“百步穿杨”形容射术非常高明。

楚王羡慕养由基的射箭本领，就请他来教自己射箭。养由基把射箭的技巧倾囊相授。楚王兴致勃勃地练习了好一阵子，渐渐能得心应手，就邀请养由基跟他一起到野外去打猎。

打猎开始了，楚王叫人把躲在芦苇丛里的野鸭子赶出来。野鸭子被惊扰，全都振翅飞出了芦苇丛。楚王赶紧拈弓搭箭，正要射时，忽然从他的左边跳出一只山羊。楚王心想，一箭射死山羊，可比射中一只野鸭子划算多了！于是楚王把箭头对准了山羊，准备射它。

可是就在此时，他的右边又突然跳出一只梅花鹿。楚王又想，若是射中罕见的梅花鹿，价值可比山羊高出许多，于是楚王又把箭头对准了梅花鹿。但箭未离弦，就听侍卫们一阵惊呼，原来从树林中飞出了一只珍贵的苍鹰，展翅飞翔，直上云霄。

楚王马上又觉得射梅花鹿还不如射苍鹰好。可是，当他正要瞄准苍鹰时，苍鹰已迅速地飞进了云端。楚王只好回头来射梅花鹿，梅花鹿却也逃走了。楚王有点慌了，急忙回头去找山羊，山羊早溜了，连那一群鸭子也全都飞得无影无踪了。

楚王拿着弓箭比划了半天，结果什么也没有射着。沮丧的楚王便向养由基问起如何应对这样的情况，养由基说：“当你开始打猎的时候，一定要目标明确，不可贪得无厌，眼中看到的目标越多，精力越分散，最终成功的几率就越小。

相反，越是明确的目标越能够使你聚精会神，当猎物出现时，你才能抓住最佳时机射中它。”

类似的故事还有不少，同样春秋战国时期，一个叫纪昌的人，想拜神箭手飞卫为师。

飞卫说:“学射箭首先要学眼力，要能盯住某物不眨眼。”

纪昌回家后，目不转睛地盯着织布机的锥刺。坚持两年后，即使有东西挨着睫毛，他也毫不眨眼。

飞卫又告诉他:“还要能视小为大。”

纪昌回去后，抓了一只虱子，每天注视它，三年后，纪昌眼中的虱子像车轮一样大。

纪昌对准虱子，一箭射中虱子中心，飞卫听后说:“你已经学会射箭了。”

看似纪昌花了五年的时间，做了与射箭毫不相关的事，但正是这五年竭尽全力的练习，才成全了他的理想。

目标就像是指南针，在关键时刻能够指引你不断接近成功。在完成目标的道路上，会有很多东西诱惑你使你分散注意力，如果你不能心无旁骛地“盯住”自己真正的目标，就有可能因漫无目的，或目标过多而阻碍自己前进。

若要实现自己的心中所想，就需要专注且不可不切实际；否则，最终可能一事无成。

凡是心浮气躁，急功近利的人，在付出一点后，便急着看到结果，结果只会半途而废，最后一事无成。

正所谓生活如逆水行舟，不进则退。真正有智慧的人，不会放任自己得过且过。

而是懂得不论何时，何种结果，都要尽其当然，保持付出的状态，如此，才能使人生立于不败之地。

学习数学也如此，运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，为了目标的达成。注意有时会添加辅助线。

通过判定两个三角形全等，可证明两条线段间的位置关系和大小关系。而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。

1．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

2．全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；

(2)全等三角形的对应线段(中线、高线、角平分线、中位线)相等；

(3)全等三角形的周长相等，面积相等．

3．全等三角形的判定

(1)全等三角形的判定方法

(2)三角形全等的证明思路(已知边或角对应相等)

找全等三角形的方法

证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

典型问题

例1．（秋?滦州市期末）已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（ 　　）

A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙

首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．如图：在△ABC和△NKM中，

∴△ABC≌△GHI（AAS）．

∴图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是：乙和丙．故选：C．

变式1．（?东港区校级开学）如图，点E、F、C、B在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，添加下列一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的条件是（ 　　）

：A、添加∠ACB＝∠DFE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；

B、添加AC＝DF可用SAS判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

C、添加∠B＝∠E然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意；

D、添加BC＝EF不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；

故选：D．

变式2．（?富阳区二模）在①∠ADB＝∠AEC，②∠BAD＝∠CAE，③AD＝AE，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

如图，在△ABC中，AB＝AC，若 　　.（选择①，②，③中的一项）

求证：BD＝CE．

（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分）

例2．（秋?信都区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ 　　）

根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AEDF，再根据余角的定义可得∠EDF+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．

：在△ABC和△FDE中，

∴∠1＝∠EDF，

∵∠EDF+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：B．

变式1．（秋?原阳县期末）如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1与∠2的关系是（ 　　）

A．∠1＝∠2B．∠2＝2∠1C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝°

∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠1＝∠ABC．

∵∠ABC+∠2＝°，∴∠1+∠2＝°．故选：D．

变式2．（秋?新吴区期末）如图3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（ 　　）

A．5个B．6个C．7个D．8个

：如图所示：与△ABC全等的三角形有△DEF、△HIJ、△GMN、△IEM、△HAF、△BDG、△CJN，共7个，故选：C．

变式3．（?平谷区二模）如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标　　．

先根据全等三角形的判定定理画出符合的F点的位置，再得出F点的坐标即可．

：如图所示，有4种情况，

∵A（2，2），C（1，1），B（2，4），E（1，﹣1），D（2，﹣2），

∴当F的坐标是（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（1，﹣4）时，以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，

故答案为：（1，1）或（4，﹣2）或（﹣1，﹣1）或（1，﹣4）．

例3．（春?双流区校级期中）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（ 　　）

分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC＝BP，AP＝BQ，②△ACP≌△BQP时AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可

：①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt

解得：x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t

解得：x＝20/7，t＝7/4．故选：D．

变式1．（?罗平县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），连接AB，在平面直角坐标系中找一点C，使△AOC与△AOB全等，则C点的坐标为 　　．

：∵A（3，0），B（0，4），

∴AB＝5，且OB⊥OA，

∴当△AOC与△AOB全等时，则有△AOC≌△OAB或△AOC≌△AOB，

当△AOC≌△OAB时，则有OC＝AB＝5，

∴C点坐标为（3，4）或（3，﹣4）；

当△AOC≌△AOB时，则有AC＝AB＝5，

∴C点坐标为（0，﹣4）；

综上可知C点的坐标为（0，﹣4）或（3，4）或（3，﹣4），

故答案为：（0，﹣4）或（3，4）或（3，﹣4）．

变式2．（春?静安区校级期中）如图，线段AB两点的坐标分别为A（﹣4，0）、B（﹣2，﹣4），在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为　　．

变式3．（秋?沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，9），B（﹣3，0），C（6，0），点D在线段BA上，点E在线段BA的延长线上，并且满足BD＝AE，M为线段AC上一点，当点D、M、E构成以M为直角顶点的等腰直角三角形时，M点坐标为（ 　　）

如图，过点M作MH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥MH于点K，过点E作EF⊥MH于点F．证明△DKM≌△MFE（AAS），推出FM＝DK，EF＝MK。∵A（0，9），B（﹣3，0），C（6，0），

变式4．（秋?顺平县期末）如图1，AE与BD相交于点C．AC＝EC，BC＝DC．

（1）求证：AB∥DE；

（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ；

（3）如图3，若AB＝8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，求出t的值．

（1）证明出全等之后得到一组内错角相等即可求证；

（2）利用（1）平行的结论得到一组角度相等，可以求证三角形全等，即可得到结论；

（3）由（2）可知，△DCQ≌△BCP始终成立，即DQ＝BP，分两种情况，一种是P从A到B，另外一种是P从B到A．

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